Cómo calculó Eratóstenes la circunferencia de la Tierra

Empezamos con una pregunta: ¿De qué tamaño es la Tierra?. El diámetro vertical  de la Tierra es menor que el diámetro horizontal en vista de que no se trata de una esfera perfecta sino de una esfera achatada en los polos, producto de la fuerza centrífuga producto a su vez de la rotación sobre su propio eje. Pero los antiguos también pudieron calcular, de manera muy ingeniosa y con una aproximación asombrosa, cuánto era el tamaño de la Tierra, asumiendo claro que ésta era una esfera perfecta, ya que lo del achatamiento es más o menos reciente. En esta entrada les voy a contar quién fue el primer hombre del que se tiene evidencia que realizó un cálculo para determinar esto. Pero no sólo eso, voy a explicar cómo es que lo hizo; se trata de matemáticas, pero no se asusten, están sencillas.

Eratóstenes (en griego antiguo Ἐρατοσθένης, Eratosthénēs) (Cirene, 276 a. C. – Alejandría, 194 a. C.)

La idea de que la Tierra era una esfera se gestó en el antiguo Oriente próximo, en la ciudad egipcia de Alejandría, aproximadamente en el siglo III a.C., y se llamó Eratóstenes el hombre que hizo el primer cálculo para determinar su tamaño. Eratóstenes fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Escribió sobre una multitud impresionante de temas que abarcaban todas las cosas en las que se podía pensar en aquellos tiempos, y estaba tan bien preparado en cada uno de ellos que aún hoy cuesta creerlo. Llegó a ser director de la famosa Biblioteca de Alejandría que tuvo un triste final, pero esa es una interesante historia que abordaremos en otro momento. 

Justamente fue en uno de los papiros de la Biblioteca donde leyó que en Siena, cerca de la primera catarata del Nilo, en el mediodía de cierto día (21 de junio actualmente), un palo vertical no proyectaba sombra. En el solsticio de verano, el día más largo del año, a medida que se acercaba el medio día se podía ver que las sombras de las columnas o cualquier elemento vertical se iban acortándose hasta desaparecer. En aquel momento se podía ver el reflejo del Sol en el centro de un profundo pozo, lo cual no significaba otra cosa que el Sol estaba justo encima de las cabezas. Cuando Eratóstenes leyó esto podría haber sido un dato más al conjunto de conocimientos que ya tenía, ¿qué importancia podrían tener las sombras de unas columnas o de cualquier elemento vertical? ¿qué importancia podría tener el reflejo del Sol en lo profundo de un pozo? ¿Qué con ello? Pero Eratóstenes no era una persona cualquiera, él era un científico y pensó en hacer una serie de experimentos.

Eratóstenes se preguntó si acaso en otra ciudad (eligió Alejandría) en el mismo día del año llegaban los elementos verticales a no tener sombra, pero sí tenían sombra. Se preguntó a qué se debía el hecho de que en un lugar un elemento vertical no tenía sombra y en otro lugar ubicado a una distancia considerable sí tenía una sombra apreciable. Si se partía de la hipótesis de que la Tierra era plana se suponía que las sombras en ese día deberían desaparecer en ambos lugares, pero no era así. Inclusive si las sombras habrían sido de la misma longitud se habría podido concluir que la Tierra era plana, pero tampoco era el caso. Eratóstenes comprendió que la única explicación para que eso fuese posible es que la Tierra fuese esférica. El sol se encontraba tan lejos de la Tierra que se suponía que los rayos de luz que llegaban a ella podían considerarse paralelos. Dedujo que a mayor curvatura la sombra debía ser mayor todavía en comparación con el punto donde desaparecía, que era en Siena.

Figura 1.

Eratóstenes hizo un gráfico similar al que podemos apreciar en la figura 1. La sombra proyectada forma un ángulo A con el elemento vertical que usó, que se dice que fueron palos. Si proyectamos los palos hasta el centro de la Tierra se encontrarán en el centro para formar el ángulo B. Geométricamente se sabe que el ángulo A es igual al ángulo B por tratarse de ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas, como los que les muestro en la figura 2. Conociendo el ángulo B y la longitud del arco de la circunferencia, es decir la distancia entre Siena y Alejandría se podía calcular el perímetro de la circunferencia. Eratóstenes hizo medir "a pasos" la distancia entre ambas ciudades y estaba a una regla de tres simples de calcular el perímetro de la Tierra y con ella su diámetro. La técnica de medir a pasos no hace que la distancia se exprese en cantidad de pasos, sino que se camina cierta cantidad de pasos, se mide la distancia, se divide entre el número de pasos y tenemos la "longitud de paso", inclusive en la actualidad se usa el método para tener una idea de cierta distancia cuando no se tiene a la mano ningún instrumento de medición. Mi paso, por ejemplo, mide 0.75m.

Figura 2.

El ángulo A=B resultó ser aproximadamente 7° y la distancia que separa Siena de Alejandría unos 800Km. Si 7° son 800Km, 360° de circunferencia son algo de 41.000Km. La medida actual se ha calculado en 40.000Km, lo que significa que Eratóstenes, con palos, sombras, caminatas y un gran genio, calculó la circunferencia de la Tierra en el siglo III a.C. con un error de sólo 2.5% aproximadamente.