La invención del ajedrez ─ El crecimiento exponencial.

En esta entrada narro la historia del origen del ajedrez. Aunque la historia tiene algunas variantes, lo que me importa transmitirles no es la historia en sí, sino más bien su enseñanza matemática. 

En un tiempo del que no se tiene fecha exacta, en la India, reinaba el rey Ladava. Éste tenía un único heredero, su nombre era Adjamir. Como era usual en aquellas épocas, el rey también participaba de las guerras a las que se veía obligado el reino para preservar sus tierras. En uno de estos enfrentamientos falleció Adjamir, dejándole al rey un inmenso vacío. El rey inmerso en su enorme tristeza, no salía de su palacio si no era para tratar un tema de profunda importancia con sus visires y sabios. 

Un día llegó al castillo un joven solicitando audiencia con el rey. Tras interrogársele sobre el motivo de su presencia. El joven, llamado Lahur, explicó que había inventado un nuevo juego y que se lo traía de obsequio al rey, tras enterarse del estado de melancolía en el que se encontraba su rey.

El rey era un hombre muy curioso y tras enterarse del obsequio que le traía el joven Lahur, accedió a atenderlo. Lahur le presentó un tablero de 64 casilleros en los cuales se posicionaban de manera ordenada dos series de piezas que se diferenciaban únicamente en el color y  explicó el juego al rey y a sus visires, quienes escuchaban atentamente. 

─Cada jugador dispone de ocho piezas pequeñas, los "peones" ─empezó diciendo. Y después de terminar con la explicación, empezaron a jugar el rey y sus visires, mientras Lahur intervenía de cuando en cuando para aclarar las diversas formas en que podían moverse las piezas.

En un momento determinado de uno de los juegos, el rey se dio cuenta de que era preciso sacrificar a uno de sus alfiles para ganar la partida. Uno de los alfiles que, según señalaba Lahur, representan a los fieles visires del rey. Y pensó en su hijo y el sacrificio necesario que tuvo que hacer para traer paz y libertad a su pueblo.

─¡No creo que el ingenio humano pueda producir una maravilla comparable a este juego tan interesante e instructivo! ─, dijo el rey, sin ocultar la alegría y el entusiasmo que le embargaron tras esa reconfortante reflexión.

Le ofreció  a Lahur la recompensa que el quisiera por el obsequio que le había traído. Lahur dijo que no quería ninguna recompensa, que para él era suficiente recompensa el haber ayudado al rey a salir de su estado de profunda tristeza. Sin embargo el rey insistió. Y Lahur pensó en darle un regalo más al rey, pero disfrazado de solicitud de recompensa. Le dijo al rey que no quería ni oro ni palacios, que quería que se le pague en granos de trigo. Un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuadro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, duplicando el número de granos a medida que se avanzaba a través de las casillas.

Al rey le asombró un pedido tan fácil de cumplir, y tras prometer que cumpliría con su promesa, mandó a calcular cuál era el número de granos de trigo que se le tenía que entregar a Lahur, para poder cumplir rápidamente con su palabra.

─ ¡Rey magnánimo! ─declaró el más sabio de los matemáticos─. Calculamos el número de granos de trigo y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana. El trigo que habrá que darle a Lahur equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana se alce cien veces más alta que el Himalaya. Sembrados todos los campos de la India, no darían en dos mil siglos la cantidad de trigo que según vuestra promesa corresponde enderecho al joven Lahur.

¿Cómo describir aquí la sorpresa y el asombro que estas palabras causaron al rey Ladava y a sus dignos visires? El soberano hindú se veía por primera vez ante la imposibilidad de cumplir la palabra dada. Lahur ─dicen las crónicas de aquel tiempo─  no quiso afligir más a su soberano, así que declaró públicamente que olvidaba la petición que había hecho y liberaba al rey de la obligación de pago conforme a la palabra dada. Desde ese día Lahur, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y prudentes consejos, prestó los más señalados beneficios al pueblo y al país, para mayor seguridad del trono y mayor gloria de su patria.

Aquí termina la historia. El rey se curo de la depresión que tenía, aprendió sobre el poder del crecimiento exponencial y de paso aprendió también a no hacer promesas que no sabía si podía cumplir. Para los que están interesados en los cálculos, les dejo la solución de la suma de los granos de trigo correspondientes a cada casilla a continuación. 

Tal como se muestra en la figura, para la primera casilla corresponde 1 grano de trigo, es decir 2⁰; para la segunda, 2 granos de trigo, es decir 2¹; para la tercera, 4 granos de trigo, es decir 2². De lo cual se deduce que para la casilla número “n” le corresponde un número de granos de trigo de 2^n-1. Así para la última casilla, la número 64, le corresponde un número de grano de trigo igual a 2⁶³. Solamente el número 2⁶³ ya es bastante grande. Pero la respuesta es la suma de los granos de trigo que corresponden a cada casilla, que llamaremos S:

S = 2⁰+2¹+2²+…+2⁶³

Si a ambos miembros de la igualdad les sumamos 2⁶⁴, resulta:

S+2⁶⁴ = 2⁰+2¹+2²+…+2⁶³+2⁶⁴

^{Si a ambos miembros les dividimos entre 2, resulta:}

(S+2⁶⁴)/2 = (2⁰+2¹+2²+…+2⁶³+2⁶⁴)/2

(S+2⁶⁴)/2 = 2^-1+2⁰+2¹+…+2⁶²+2⁶³

^{Si reemplazamos en valor inicial de S, obtenemos:} 

(S+2⁶⁴)/2 = 2^-1+S

Despejando S obtenemos su valor:

S = 1.8 x 10¹⁹

Este gigantesco número es 18'000.000'000.000'000.000 (18 trillones) de granos de trigo. Para que se hagan una idea de que tan grande es este número, tomen en cuenta el número de granos de arena, aproximados, que hay en todas las playas de todo el mundo: 5.6 x 10²⁰.