Una historia sobre cuando la regla de tres no funciona ─ Interpolaciones.

Cuenta la historia que había llegado el joven Samir a un pequeño pueblo con el anochecer pisándole los talones. Como es natural, buscó dónde pasar la noche. Se empezaba a hacer oscuro cuando logró encontrar un hospedaje y sin pensarlo dos veces, entró.

–Buenas noches señor, necesito una habitación para pasar la noche –le dijo al señor que, detrás de un escritorio, parecía ser el dueño del lugar.

El dueño del lugar le miró con cierta desconfianza, e interrogo a Samir sobre su nombre y su oficio.

–Me llamo Samir –dijo con una pequeña sonrisa–. Me gano la vida solucionando problemas. Hay poca gente familiarizada con los cálculos matemáticos, y eso ha sido una ventaja para mí, que siempre me han gustado.

–Entonces quizá puedas ayudarme. Si lo haces, te pegaré dejándote pasar la noche gratis en mi posada –dijo el dueño. 

–Me parece justo –dijo Samir–,cuénteme de qué se trata. 

–He hecho un acuerdo con un comerciante, huésped aquí, en mi hospedaje –empezó a explicar el viejo–. Él ofreció pagarme $20 si vendía su mercancía en $100, o $35 si lograba vender su mercancía en $200. Pero ha vendido su mercadería en $140 y no hemos podido llegar a un acuerdo respecto a cuánto debería pagarme. 

–Necesito que el comerciante esté presente –dijo Samir–. E inmediatamente lo mandaron a llamar para que presentara su propuesta justa de pago.

–Según mis cálculos, tengo que pagar $24.5 por mi permanencia en esta posada –empezó a argumentar el comerciante apenas empezó a hablar–. Les voy a explicar porqué: he acordado pagarle al señor $35 si vendo mi mercancía en $200, eso significa que debía pagarle $3.5 por cada $20 que logre en ventas. Si he vendido la mercancía en $140 que es 7 veces $20, significa que debo pagarle 7 veces $3.5, es decir $24.5. 

–Eso es incorrecto –replicó rápidamente el dueño del hospedaje–, tiene que pagar $28 y les voy a explicar porqué: ha acordado pagarme $20 si vende su mercancía a $100, eso significa que debería pagarme $2 por cada $10 que logre en ventas. Si ha vendido su mercancía en $140 que es 14 veces $10, es lógico que deba pagar 14 veces $2, es decir $28.

¿Quién tenía razón? Ninguno. Antes de seguir leyendo, piense usted mismo en la solución del problema y luego puede leer aquí abajo el razonamiento de Samir.

–Vamos a ver –empezó a hablar tranquilamente Samir–, si se ofreció pagar $20 para una venta de $100 o $35 por una venta de $200. Significa que si la venta aumenta $100, el pago aumentará en $15, lo cual a su vez significa que por un incremento en la venta de $10, el pago aumentará en $1.5. Si la venta aumentó de $100 a $140, significa que ha aumentado 4 veces $10, por lo tanto el pago debe aumentar 4 veces $1.5, es decir $6. Por lo que el pago correcto a realizar es de $26.

Ambos, tanto el dueño de la posada como el comerciante, quedaron satisfechos y muy agradecidos con Samir por solucionar el problema. El dueño porque el comerciante no pagó tan poco como pretendía. Y el comerciante porque no pagó tanto como pretendía el dueño de la posada. Samir pasó la noche en aquél lugar y al día siguiente retomó su viaje, perdiéndose en el horizonte.

Bonita historia, sin duda, pero ¿se ha entendido? Por si no es el caso voy a poner a continuación la explicación de los tres razonamiento, los dos errados y el razonamiento correcto de Samir.

El comerciante razonó usando una sencilla regla de tres simples. Si a $200 de venta, corresponden $35 de pago. ¿Cuánto de pago corresponde a $140 de venta? Esto se soluciona así:

El dueño razonó de manera similar, pero con distintas cantidades, de la siguiente manera:

Sin embargo, ninguno de los dos razonamientos es correcto. Debido a que no hay una proporción entre la venta y el pago correspondiente. Si a $100 corresponde $20 de pago, a $200 debería corresponder $40, pero en lugar de eso se ha acordado que debería ser $35. Este tipo de desproporción se soluciona conforme lo hizo Samir. Matemáticamente este procedimiento se conoce como interpolación y se desarrolla de la siguiente forma:

Este tipo de cálculo se usa mucho en ciencia y en ingeniería. Si aún no lo conocían, me alegro que lo hayan aprendido ahora mismo. Si ya lo conocían, espero que les haya gustado la historia. Y en ambos casos espero que lo compartan para expandir este milenario y hermoso conocimiento matemático.